W trójkąt można wpisać koło (tu oznaczone literą w;
jego promień oznaczamy r).
W powstałe naroża dalej można wpisywać kolejne koła, jak na poniższych rysunkach. Kół jest w każdym narożu nieskończenie wiele, czego już na rysunkach nie widać.
Na powyższym rysunku wszystkie trójkąty mają równe pola.
Na oko widać, że koła wpisane w te trójkąty w nie mają jednakowych pól. Powstaje pytanie, czy suma pól wszystkich kół (wpisanego w i wpisanych w kolejne naroża) jest w tych trójkątach taka sama.
Innymi słowy, czy stosunek
jest stały?
Najpierw obliczymy, jaki jest stosunek
w trójkącie równobocznymABC.
Połączmy odcinkami środki kół z punktami styczności (leżącymi na bokach trójkąta lub na innych kołach). Otrzymamy podział trójkąta na nieskończenie wiele trapezów (prostokątnych). Sprawdź, że te trapezy są podobne.
Zatem
Wystarczy więc zbadać jeden trapez, na przykład ODD'O'.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
Zauważmy, że czerwony trójkąt jest połową trójkąta równobocznego.
Stąd mamy:
Podsumowując:
Dalej wystarczy sprawdzić, czy w innych trójkątach ten stosunek jest taki sam.
Zamiast rachować, po prostu zobaczmy.
Dla trójkątów równoramiennych, których podstawa AB jest dużo, dużo większa od wysokości CD widzimy, że
niemal cały trójkąt jest podzielony na trapezy,
które są prawie prostokątami, w które 'wpisane' są dwie prawie ćwiartki kół. Stąd
Zatem dla takich trójkątów ABC, pola kół stanowią prawie /4 pola trójkąta.
Na koniec zauważmy, że 1/4 jest liczbą wymierną, a
. 11/72 nie, więc są różne i dlatego różne są liczby /4 i . 11/72.
Stąd odpowiedź:
istnieją trójkąty o tym samym polu, w których sumy pól kół są różne.
Można się zastanawiać, dlaczego przedstawiam tu tak zawiłe rozumowanie. Odpowiedź jest prosta: nie znam prostszego.
Poniżej przedstawiam inne rozwiązanie, w którym konieczna jest znajomość wzoru na sumę postępu geometrycznego.
Pomyślmy o jednokładności o środku A i skali
sA = (AO - r) / (AO + r).
W tej jednokładności obrazem punktu P jest punkt P',
obrazem punktu P' jest P'', obrazem P'' jest P''', ... .
Ta jednokładność przekształca:
- koło w na pierwsze (największe) koło naroża A,
- pierwsze koło naroża A na drugie koło naroża A,
- drugie koło naroża A na trzecie koło naroża A,
i tak dalej.
Zatem promienie kolejnych kół naroża A tworzą ciąg geometryczny o ilorazie sA.
Zatem i pola kolejnych kół naroża A tworzą ciąg geometryczny, tym razem o ilorazie sA2.
Podobnie jest z kołami w pozostałych narożach.
Stosując wzór na sumę nieskończonego postępu geometrycznego, dostajemy (Pytanie kontrolne: skąd bierze się ' -2' w liczniku ułamka?)
Otrzymany wzór można przekształcić do postaci: Można też inaczej: Można też użyć trygonometrii:
Z żadnego z powyższych wzorów nie widać od razu, czy ten iloraz jest, czy nie jest zależny od trójkąta.
Dopiero podstawienie (na przykład miar kątów do ostatniego wzoru) pozwala numerycznie stwierdzić, że iloraz ten nie jest stały.
Jak to zrobić w Geogebrze?
Wystarczy 12 poleceń. To zadziwiająco mało. A to dzięki poleceniu Ciąg, którego wartościami są obiekty (w tym wypadku jednokładne obrazy koła wpisanego w trójkąt).
Oczywiście w ten sposób nie otrzymamy nieskończenie wielu
kół (tu jedynie po 8 w narożach; można też po 28).
Z takim zadaniem mierzyli się Młodzicy w eliminacjach do Maratonu Matematycznego 2024: Po padoku spacerują jeźdźcy i konie. Jest tam 25 głów i 60 nóg. Jaka jest różnica między liczbą ludzi i koni?
Do 19 IX można zwiedzać w IM UWr wystawę prac finalistów konkursu matematycznego origami "Żuraw". 20 IX prace zostaną zlicytowane na rzecz Fundacji Matematyków Wrocławskich. Zapraszamy!
Czy podczas wakacyjnych wędrówek odkryliście jakąś atrakcję turystyczną związaną z matematyką? Pomnik, tablicę pamiątkową, kawiarnię, w której sformułowano słynne twierdzenie, ławeczkę z wyciętym wzorem, miejsce urodzenia, dom rodzinny lub grób jakiegoś znanego matematyka? Napiszcie, prześlijcie zdjęcie oraz lokalizację na adres mikolaj@math.uni.wroc.pl. Opublikujemy Wasz tekst na Portalu, aby i inni mogli to miejsce odwiedzić!
Dowcip miesiąca
Nauczyciel: Jasiu, czy ojciec pomaga ci w odrabianiu lekcji? Jasio: Nie, ta ostatnia dwója z matematyki zupełnie go załamała.
*****
Ojciec: Jasiu, kto jest najbardziej leniwy w twojej klasie?
Jasio: A co to jest leniwy?
Ojciec: To znaczy, że ktoś nic nie robi, tylko się przygląda, jak inni pracują.
Jasio: A, to nasz pan od matematyki.
Nauczyciele są dla społeczeństw trampoliną do lepszego jutra. Kiedy są pełni pasji i energii, dostrzegą talenty w uczniach, będą ich wspierać i ciągnąć w górę, a wtedy może narodzić się siła, która pchnie świat do przodu. Jeśli natomiast ich zapał zostanie stłumiony brakiem wsparcia i szacunku, kiedy ich pasja wypali się przez nieprzystające do stresu i odpowiedzialności zarobki, przyszłość namaluje się w ciemnych barwach. Nauczyciele, trzymajcie się!
niemal cały trójkąt jest podzielony na trapezy,
które są prawie prostokątami, w które 'wpisane' są dwie prawie ćwiartki kół. Stąd
Zatem dla takich trójkątów ABC, pola kół stanowią prawie 
/4 pola trójkąta.
. 11/72 nie, więc są różne i dlatego różne są liczby 
