Przedział liczbowy

Definicja:
Przedział liczbowy to spójny podzbiór liczb rzeczywistych, czyli zbiór o jednej z poniżej opisanych postaci.

Rodzaje przedziałów liczbowych:

{x$\in$R: a<x<b} - przedział otwarty, od a do b, ozn. (a, b)

{x$\in$R: a$\leq$x$\leq$b} - przedział domknięty, od a do b, ozn. [a, b]

{x$\in$R: a$\leq$x<b} - przedział lewostronnie domknięty, od a do b, ozn. [a, b)

{x$\in$R: a<x$\leq$b} - przedział prawostronnie domknięty, od a do b, ozn. (a, b]

{x$\in$R: a<x} - przedział otwarty, od a do nieskończoności, ozn. (a, $+\infty$)

{x$\in$R: a$\leq$x} - przedział lewostronnie domknięty, od a do $+\infty$, ozn. [a, $+\infty$)

{x$\in$R: x<b} - przedział otwarty, od minus nieskończoności do b, ozn. ($-\infty$, b)

{x$\in$R: x$\leq$b} - przedział prawostronnie domknięty, od minus nieskończoności do b, ozn. ($-\infty, b$]

{x$\in$R: a<x<a} - przedział pusty, ozn. (a, a) lub $\emptyset$

{x$\in$R: a$\leq$x$\leq$a} - singleton a, ozn. [a, a] lub {a}

{x$\in$R: $-\infty$<x<$+\infty$}={x$\in$R} - prosta rzeczywista, zbiór liczb rzeczywistych, ozn. $(-\infty,+\infty)$

Elementy składowe przedziału liczbowego:

• a, b, $-\infty$, $+\infty$ (odpowiednio wg powyższej notacji) to końce przedziału liczbowego

• wszystkie liczby należące do danego przedziału liczbowego, ale nie będące jego końcami to wnętrze przedziału

• rozwiązanie nierówności |x-1| < 2 to (-1, 3)
• maksymalny przedział w którym funkcja x² maleje, to ($-\infty$, 0]
• zbiór liczb, których część całkowita jest dwucyfrowa to [10, 100)
• suma zbiorów (-1, 1)$\cup$(0, 2] to (-1, 2]

• {x$\in$R: $-\infty$<x<$+\infty$} = {x$\in$R} - prosta rzeczywista, zbiór liczb rzeczywistych, ozn.$(-\infty,+\infty)$

• odcinek o długości 1 - to figura geometryczna, czyli zbiór punktów, a nie zbiór liczb
• zbiór liczb parzystych - nie tworzy spójnego podzbioru liczb rzeczywistych
• przedział otwarty od (-2) do (-3), czyli (-2, -3) - nie zachowano właściwego porządku końców przedziału
• suma zbiorów (-1, 1)$\cup$(2, 3] - nie tworzy spójnego podzdbioru liczb rzeczywistych

• Przedział liczbowy to zbiór liczb, a nie figura geometryczna, czyli zbiór punktów. Nie można mylić go z odcinkiem, prostą lub półprostą. Prosta geometryczna nie musi być osią liczbową.
• Dzięki istnieniu jednoznacznego przyporządkowania liczbom rzeczywistym punktów na osi liczbowej oraz punktom na osi liczbowej liczb rzeczywistych każdy odcinek, półprosta, bądź prosta na osi liczbowej jednoznacznie wyznacza przedział liczbowy, jak również każdy przedział liczbowy może być przedstawiony na osi liczbowej dokładnie w jeden sposób jako odcinek, prosta lub półprosta.
• Długość przedziału o końcach a i b wynosi |a-b|. Jeżeli jednym z końców przedziału jest nieskończoność, to długość tego przedziału jest nieskończona.
• Każdy przedział liczbowy o końcach będących liczbami rzeczywistymi jest ograniczonym podzbiorem liczb rzeczywistych.
• Każdy obustronnie domknięty przedział liczbowy jest domkniętym i zwartym podzbiorem liczb rzeczywistych.
• Na przedziałach liczbowych można wykonywać takie same działania jak na pozostałych zbiorach (suma mnogościowa, przekrój, różnica, dopełnienie, różnica symetryczna), ale nie każdy wynik takiego działania jest nadal przedziałem liczbowym, np. przedziałami liczbowymi są : (1,3)$\cup$(2, 4) oraz (1, 3)$\cap$(2,4), ale nie są: (1, 3)^', (1, 2)$\cup$(3,4) oraz (1, 3) \ (2, 4).
• Przekrój (czyli część wspólna) przedziałów liczbowych jest zawsze przedziałem.

Terminy pokrewne:

• liczby rzeczywiste
• oś liczbowa
• zbiór