Zad. 1. Udowodnij, że 1n + 2n + 3n + … + 15n jest podzielne przez 480 dla wszystkich nieparzystych n ≥ 5.
Zad. 2. Niech a < b < c < d < e będą dodatnimi liczbami całkowitymi. Udowodnij, że
1/NWW(a, b) + 1/NWW(b, c) + 1/NWW(c, d) + 2/NWW(d, e) ≤ 1.
Zad. 3. Punkty A, B i C leżą na okręgu Γ. Drugi okrąg Δ jest styczny do odcinka AC w punkcie A. Przecina on ponownie okrąg Γ w punkcie D, a prostą AB ponownie w punkcie P. Punkt A leży na odcinku BP. Udowodnij, że jeśli |AD| = |DP|, to |BP| = |AC|.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 18 - Jakub Ceynowa (SP 95 Wrocław),
- 12 - Ignacy Gałek (SP 1 Wrocław).
Gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że rozkład dzielnika na czynniki pierwsze to 480 = 3 · 5 · 32. Wystarczy wykazać podzielność sumy Sn = 1n + ... + 15n przez każdy z tych czynników, pamiętając, że n jest nieparzyste i n ≥ 5. Rozważając sumę modulo 3, możemy połączyć składniki w pary (k, 3–k). Ponieważ n jest nieparzyste, zachodzi (3–k)n ≡ (–k)n ≡ –kn (mod 3), więc każda para sumuje się do zera, co oznacza, że cała suma jest podzielna przez 3. W przypadku modulo 5, reszty z dzielenia kolejnych podstaw potęg przez 5 (czyli 1, 2, 3, 4, 0) powtarzają się w sumie trzykrotnie. Suma reszt w jednej takiej piątce wynosi 1n + 2n + (–2)n + (–1)n + 0, co przystaje do 0 modulo 5, zatem cała suma dzieli się przez 5. Dla podzielności przez 32 grupujemy wyrazy w pary k oraz 16–k dla k od 1 do 7. Ponieważ 16 dzieli się przez 16, a n ≥ 5, wyraz (16–k)n przystaje do (–k)n modulo 32. Suma w każdej parze wynosi zatem kn + (–k)n = 0. Pozostaje środkowy wyraz 8n, który możemy zapisać jako (23)n = 23n. Skoro n ≥ 5, to 3n ≥ 15, więc liczba ta jest wielokrotnością 32. Ostatecznie suma dzieli się przez 3, 5 i 32, a więc i przez 480.
Zad. 2. Udowodnimy najpierw pomocniczą nierówność: dla dowolnych liczb całkowitych 0 < x < y zachodzi 1/NWW(x, y) ≤ 1/x – 1/y. Równoważnie, korzystając ze wzoru na NWW, mamy NWD(x, y)/(xy) ≤ (y – x)/(xy), co sprowadza się do nierówności NWD(x, y) ≤ y – x. Ponieważ największy wspólny dzielnik liczb x i y dzieli również ich różnicę, a różnica ta jest dodatnia, to dzielnik ten nie może być od niej większy, co dowodzi prawdziwości lematu. Stosując tę nierówność do pierwszych trzech składników sumy z zadania, otrzymujemy oszacowanie z góry przez (1/a – 1/b) + (1/b – 1/c) + (1/c – 1/d), co po redukcji daje 1/a – 1/d. Pozostaje wykazać, że ostatni składnik sumy, czyli 2/NWW(d, e), jest nie większy niż 1/d. Jest to równoważne nierówności 2·NWD(d, e) ≤ e. Skoro d < e, a e jest wielokrotnością NWD(d, e), to e musi być co najmniej dwukrotnością tego dzielnika (przypadek e = NWD jest niemożliwy, bo e > d ≥ NWD). Cała suma jest więc mniejsza lub równa 1/a, co jest nie większe od 1, gdyż a jest dodatnią liczbą całkowitą.
Zad. 3. Skorzystajmy z własności kątów w okręgu. Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą zastosowanego do okręgu Δ wynika, że kąt CAD jest równy kątowi wpisanemu APD. Ponieważ punkt A leży na odcinku BP, punkty B, A i P są współliniowe, zatem kąt APD jest tożsamy z kątem BPD. Otrzymujemy stąd równość kątów CAD oraz BPD. Następnie, rozważając okrąg Γ, zauważamy, że kąt DCA jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt DBA, więc miary te są równe. Ponownie korzystając ze współliniowości punktów B, A, P, wiemy, że kąt DBA to ten sam kąt co DBP, co prowadzi do wniosku, że kąt DCA równa się kątowi DBP. Porównując teraz trójkąty ADC i PDB, widzimy, że mają one dwie pary równych kątów oraz parę równych boków AD i DP (leżących naprzeciwko jednej z par równych kątów). Na mocy cechy przystawania trójkątów (kkb) trójkąty te są przystające. Konsekwencją tego przystawania jest równość pozostałych boków, zatem |BP| = |AC|, co należało udowodnić.
