Zad. 1. Udowodnij, że funkcja y = sin(x) nie jest wielomianem.
Zad. 2. Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c) liczb całkowitych dodatnich, takich że: a | (b+c),
b | (c+a) oraz c | (a+b).
Zad. 3. Dwa okręgi o promieniach R > r są styczne zewnętrznie w punkcie A. Przez punkt B, obrany na większym okręgu, prowadzimy styczną do mniejszego okręgu w punkcie C. Wiedząc, że |AB| = a, oblicz |BC|.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork): 30 = 10 + 10 + 10,
Jan Kropidłowski (III LO Wrocław): 20 = 10 + 0 + 10,
Szymon Michalik (XIV LO Warszawa): 13 = 8 + 5 + 0,
Danuta Wroniszewska (I LO Jelenia Góra): 12 = 2 + 10 + 0.
Gratulacje!
Zad. 1. Sinus ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, więc gdyby był wielomianem to byłby wielomianem zerowym, dla x = π/2 jednak przyjmuje wartość 1. Sprzeczność.
Zad. 2. Bez straty ogólności przyjmijmy, że a ≤ b ≤ c. Wówczas a+b ≤ 2c oraz c | a+b, co za tym idzie a+b = c lub a+b = 2c. W drugim przypadku, ponieważ a ≤ c i b ≤ c, to a = b = c, co daje nam trójki (a, a, a). Rozważmy zatem pierwszą sytuację, w której a + b = c. Mamy a + c = 2a + b. Ponieważ b | a+ c to b | 2a. Skoro zaś 2a ≤ 2b, to 2a = b lub 2a = 2b. Otrzymujemy więc odpowiednio trójki (a, 2a, 3a) oraz (a, a, 2a). Wszystkie inne odpowiedzi otrzymujemy przez permutacje tych trójek (odpowiada to permutacji warunku a ≤ b ≤ c).
Zad. 3. Niech prosta BA przecina mniejszy okrąg w punkcie P. Zauważmy, że AO1B jest podobny do AO2P w skali R/r, gdzie O1 to środek większego, a O2 to środek mniejszego okręgu. Wówczas |AP| = ar/R. Stosując twierdzenie o stycznej i siecznej otrzymujemy |BC|2 = a(a + ar/R), skąd po spierwiastkowaniu otrzymujemy wynik.
