Zad. 1. Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Każde dwa punkty połączono odcinkiem niebieskim lub czerwonym. Udowodnij, że istnieje trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach, którego boki są tego samego koloru.
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p takie, że p2 + 14 jest liczbą pierwszą.
Zad. 3. Przez przeciwległe wierzchołki prostokąta poprowadzono prostopadłe do przekątnej, dzieląc tę przekątną na odcinki długości 1 cm, 2 cm i 1 cm. Oblicz długości boków prostokąta.
W październiku punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Paweł Prasal III LO Leszno, Miłosz Szczęśniak LO Góra, Jadwiga Turowska LO Toruń, Michał Woźniak LO Oleśnica, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Lena Miłosz LO Dobrzeń Wielki;
- 1 – Stanisław Hodor Katolickie LO Łazy.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy jeden z danych punktów przez A. Jest on połączony z pięcioma innymi punktami, przy czym (z zasady szufladkowej) co najmniej trzy z tych połączeń są tego samego koloru (dlaczego?). Niech będą to połączenia AB, AC i AD. Załóżmy, że są one niebieskie. Jeżeli odcinek BC też jest niebieski, to ABC jest jednokolorowym trójkątem, jeżeli CD jest niebieski, to ACD jest jednokolorowy, a jeśli DB jest niebieski, to ABD jest jednokolorowy. Moze też się zdarzyć, że żaden z odcinków BC, CD ani DB nie jest niebieski, ale wówczas wszystkie są czerwone i trójkąt BCD jest jednokolorowy.
Zad. 2. Gdy p=2, liczba p2+14=18 i nie jest liczbą pierwszą. Gdy p=3, liczba p2+14=23 jest pierwsza. Każda liczba pierwsza p większa od 3 jest postaci: p=3n+1 lub p=3n+2, gdzie n jest liczbą naturalną. W pierwszym przypadku p+14 = (3n+1)2+14 = 3(3n2+2n+5) nie jest pierwsza. W drugim przypadku p+14 = (3n+2)2+14 = 3(3n2+4n+6) nie jest pierwsza. Zatem jedyną dobrą liczbą p jest 3.
Zad. 3. Trójkąty AED, DEC i ADC są podobne. Zatem AE/DE=DE/EC, a stąd DE=h=√(AE∙EC)=√3. Trójkaty AED i ACD są prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy boki AD=2 i DC=2√3.
