Zad. 1. Proste wyznaczone przez dwusieczne kątów przy wierzchołkach A, B, C trójkąta ABC przecinają okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach W1, W2, W3. Udowodnij, że
|AW1| + |BW2| + |CW3| > |AB| + |BC| + |AC|.
Zad. 2. Alfred i Bronka grają w następującą grę: Alfred wymyśla pewien wielomian P o całkowitych, nieujemnych współczynnikach, po czym Bronka usiłuje go odgadnąć, zadając pytania o wartości tego wielomianu w wybranych przez siebie liczbach całkowitych nieujemnych. Ile najmniej pytań wystarczy Bronce, aby odgadnąć wielomian Alfreda?
Zad. 3. Czy istnieją takie całkowite liczby a, b, c, że oba wielomiany ax2+bx+c i (a+1)x2+(b+1)x+(c+1) mają dwa całkowite pierwiastki?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
Jan Kropidłowski (III LO Wrocław): 10 + 10 + 10 = 30,
Mateusz Jagoda (ZSO Kluczbork): 10 + 10 + 10 = 30,
Danuta Wroniszewska (I LO Jelenia Góra): 5 + 10 + 0 = 15,
Szymon Michalik (XIV LO Warszawa): 10 + 0 + 0 = 10.
Gratulacje!
Zad. 1. Rozważmy czworokąt ABW1C. Na mocy twierdzenia Ptolemeusza |AW1|·|BC| = |W1C|(|AC|+|AB|). Jest tak, gdyż |W1C| = |W1B|. Z nierówności trójkąta wiemy, że 2|W1C| > |BC|, zatem po podzieleniu obustronnie wcześniejszej równości przez |BC| i użyciu powyższej nierówności otrzymujemy |AW1| > (|AC|+|AB|)/2. Postępując analogicznie, dowodzimy, że |BW2| > (|AB|+|BC|)/2 oraz |CW3| > (|AC|+|BC|)/2. Po zsumowaniu otrzymujemy tezę.
Zad. 2. Bronce wystarczą dwa pytania. Załóżmy, że wielomian Alfreda to P(x) = anxn+...+a0. Bronia pyta o wartość P(1). Zauważmy, że wtedy każdy współczynnik jest szacowany przez łączną sumę wszystkich współczynników, czyli ai ≤ P(1). Niech b = P(1) + 1. Pytając teraz o P(b) i zapisując tą liczbę w systemie o podstawie b, Bronka otrzyma liczbę, której cyfry będą kolejnymi współczynnikami wielomianu Alfreda.
Zad. 3. Takie liczby nie istnieją. Załóżmy nie wprost, że jest inaczej. Ze wzorów Viete'a wynika, że jeżeli wielomian o całkowitych współczynnikach kx2+jx+m ma dwa pierwiastki całkowite, to k dzieli j oraz k dzieli m. Jedna z liczb a, a+1 jest nieparzysta. Załóżmy, że jest to a+1. Wtedy na mocy powyższej uwagi wszystkie liczby a, b, c są parzyste. Ponownie korzystając ze wzorów Viete'a, zauważamy że suma pierwiastków drugiego wielomianu to -(b+1)/(a+1), a ich iloczyn to (c+1)/(a+1). Suma i iloczyn liczb całkowitych nie mogą być jednocześnie nieparzyste. W przypadku gdy a+1 jest parzyste zaś a nieparzyste, przeprowadzamy analogiczne rozumowanie z pierwszym wielomianem.
