Zad. 1. Pewien polityk zapomniał czterocyfrowy kod do swojej walizki na tajne dokumenty. Zapisał w tajnym notatniku, że była to liczba pierwsza, której iloczyn cyfr wynosi 27. Jakie liczby spełniają te warunki?
Zad. 2. Antek chodzi do Szkoły Podstawowej nr 1 we Wrocławiu. Kiedy 1 kwietnia tego roku obchodził urodziny, koledzy zauważyli, że jego wiek jest równy sumie cyfr roku, w którym się urodził. Które urodziny świętował Antek?
Zad. 3. Nadia podzieliła prostokątną kartkę papieru na cztery jednakowe części trzema liniami równoległymi do dłuższej krawędzi kartki, a następnie zagięła kartkę wzdłuż tych linii, tworząc powierzchnię boczną prostopadłościanu kwadratowego (jej wolne krawędzie skleiła taśmą). Tak utworzony pojemnik postawiła na stole i wypełniła szczelnie dwudziestoma kostkami do gry, z których każda była sześcianem o krawędzi 1 cm. Taką samą kartkę podzieliła następnie na cztery jednakowe części, prowadząc linie równolegle do krótszych krawędzi, i zbudowała w ten sam sposób drugi pojemnik, który także szczelnie wypełniła kostkami. Ile kostek zmieściło się w tym pojemniku?
W kwietniu punkty zdobyli:
- 3 – Sebastian Aksamit SP 16 Wrocław, Wilhelm Bardowski SP 1 Lubań, Maja Bator SP 44 Wrocław, Cezary Bogacz SP Krzeptów, Kajetan Bondarewicz SP 23 Wrocław, Tomasz Cichopek SP Świebodzice, Jakub Ceynowa SP 95 Wrocław, Michał Derewecki SP 50 Wrocław, Arseniia Elkina SP 16 Wrocław, Zuzanna Fita SP 44 Wrocław, Gabriela Gajdzis SP 8 Zielona Góra, Wojciech Gdesz SP Żerniki Wr., Zofia Górka SP 50 Wrocław, Mateusz Jaszczyszyn SP 44 Wrocław, Kacper Jarzyński SP 13 Zielona Góra, , Laura Kogut SP 9 Gliwice, Katowice, Marie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Sophie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Natalia Rodziewicz SP Szczytno, Witold Stępień SP 1 Oleśnica, Michał Synakiewicz SP Brzoza, Dawid Szymala SP 50 Wrocław, Adam Trznadel SP 82 Wrocław, Kalina Tułacz SP 50 Wrocław, Zuzanna Winiarska SP 44 Wrocław, Ignacy Żak SP Żerniki Wrocławskie;
- 2,75 – Filip Fudała SP 53 Wrocław, Wiktor Sędziak SP 28 Bielsko-Biała, Karol Sobecki SP 28 Bielsko-Biała;
• 2,5 – Maria Bogner SP Fundacji Królowej św. Jadwigi Wrocław, Mateusz Noga SP 113 Wrocław,;
• 2 – Krzysztof Bednarz SP Głogów Małopolski, Nela Bielecka SP Żerniki Wrocławskie, Antoni Gałkowski SP Józefów n. Wisłą, Zuzanna Głowacz SP Popielów, Stanisław Góralski SP Józefów n. Wisłą, Piotr Kostanek SP Mińsk Mazowiecki, Dominika Kubica SP "Płomień", Alicja Lis SP 50 Wrocław, Adam Pająk SP Raszyn, Irmina Pietroń SP Józefów n. Wisłą, Maciej Piszko SP 50 Wrocław , Amelia Prejs SP Józefów n. Wisłą, Zofia Romiszewska SP 100 STO Warszawa, Mateusz Różalski SP Józefów n. Wisłą, Franciszek Sobka SP Józefów n. Wisłą, Piotr Strzelecki SP 50 Wrocław, Julian Tomczak SP SP 16 Wrocław, Aleksandra Wabińska SP Żerniki Wrocławskie, Julian Wawer SP Pilawa, Dawid Zysk SP 19 Legnica; - 1,75 – Michał Filipczak SP 44 Wrocław, Antoni Łakomiec SP 50 Wrocław;
- 1,5 – Jeremi Bablok Bednarska SP Terytorium Mysłowicka Warszawa, Vivien Glatki SP Popielów, Tobiasz Mazurkiewicz SP Popielów;
- 1 – Mieszko Buczkowski SP 2 Ożarów Mazowiecki, Filip Kaźmierczak SP 44 Wrocław, Kurt Kolodii SP 44 Wrocław, Małgorzata Nowakowska SP 3 Głogów, Leon Płonka SP 44 Wrocław, Anna Rudzińska SP 28 Warszawa, Amelia Waindok SP 3 Dobrzeń Wielki, Kacper Wołowiec SP 50 Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Zauważmy, że 27=3⋅3⋅3. Zatem jedna z cyfr tej liczby to jedynka, a pozostałe cyfry to trzy trójki lub dwie cyfry to jedynki, a pozostałe to trójka i dziewiątka. Możliwe kody w pierwszym przypadku to 1333, 3133, 3313, 3331, a w drugim 1139, 1193, 1319, 1391, 1913, 1931, 3119, 3191, 3911, 9113, 9131, 9311. Wśród nich liczbami pierwszymi są tylko 1193, 1319, 1913, 1931, 3119, 3191, 3313, 3331, 3911 i 9311.
Zad. 2. Zauważmy, ze liczbę 2025 możemy zapisać jajo 20⋅100+2⋅10+5. Antek jest uczniem szkoły podstawowej, ma więc kilka albo kilkanaście lat i urodził się w roku 20xy = 20⋅100+10x+y. Z treści zadania wynika równanie 2025-(2+0+x+y) = 20⋅100+10x+y, czyli 2023-x-y = 2000+10x+y, skąd 23 = 11x+2y. Jedyna para liczb naturalnych spełniająca to równanie to x=1 i y=6. Antek urodził się więc w 2016 roku i świętuje dziewiąte urodziny.
Zad. 3. Pierwszy pojemnik ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratowej i objętości 20 cm3, którego wymiary są całkowitymi liczbami centymetrów, czyli 1 cm × 1cm × 20 cm lub 2 cm × 2 cm × 5 cm. W drugim przypadku linie zgięcia papieru nie przebiegałyby wzdłuż dłuższych boków kartki. Z tego wynika, że kartka miała wymiary 4 cm × 20 cm. Drugi pojemnik miał kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku 20:4=5 cm. W tym pojemniku zmieściło się 5⋅5⋅4=100 kostek.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
