Zad. 1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = sin4x + cos4x dla x∈R.
Zad. 2. Turysta wyruszył z Karpacza na Śnieżkę o godzinie 8:00 i wrócił do hotelu o godzinie 18:00. Na szczycie odpoczywał godzinę. Na szczyt i z powrotem szedł tą samą trasą o długości 18 km. Podczas zejścia poruszał się średnio o 3 km/h szybciej niż podczas podejścia. Oblicz średnią prędkość turysty podczas wchodzenia i zchodzenia.
Zad. 3. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie ((x)x)3 = 3.
W kwietniu punkty zdobyli:
• 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Lena Miłosz LO Dobrzeń Wielki, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
• 2,5 – Jagoda Janiś LO Góra;
• 2 – Jadwiga Turowska LO Toruń;
• 1 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Piotr Kulczyk LO Mielec, Paweł Prasal III LO Leszno.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Przekształcamy: sin4x+cos4x = (sin2x+cos2x)2–2sin2xcos2x = 1–1/2(2sinxcosx)2 =
1–1/2sin22x. Ponieważ 0≤|sinx|≤1, wynika stąd, że największa wartość funkcji f wynosi
1–1/2·0=1, a najmniejsza 1–1/2·1=1/2.
Zad. 2. Niech v oznacza średnią prędkość turysty podczas wchodzenia. Mamy równanie
18/v+18/(v+3)+1 = 10, a stąd 18/v+18/(v+3) = 9. Dalej przekształcamy je:
18(v+3)+18v = 9v(v+3), czyli 36v+54 = 9v2+27v, 18v+54+18v = 9v2+27v i ostatecznie
9v2–9v–54 = 0, czyli v2–v–6 = 0, więc równoważnie (v–3)(v+2) = 0, skąd v1=3 (a drugi pierwiastek jest ujemny). Turysta wchodził ze średnią prędkością 3 km/h, a schodził z prędkościa 6 km/h.
Zad. 3. Równanie ((x)x)3 = 3 możemy równoważnie zapisać jako x3x = 3. Logarytmujemy je stronami logarytmem przy podstawie 3 i otrzymujemy log3x3x = log33 = 1, a stąd 3xlog3x = 1, czyli 3log3x = 1/x. Stosujac metodę graficzną i szkicując wykresy prawej i lewej strony równania, czyli f(x)= 3log3x i g(x)=1/x, możemy odczytać przybliżoną wartość pierwiastka x ≈ 1,32.
