Zad. 1. Niech an będzie ciągiem kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3. Wykaż, że an = [(3n–1)/2], dla n = 1, 2, 3, …, gdzie symbol [x] oznacza część całkowitą liczby x.
Zad. 2. Rozwiąż równanie log3x+log9x+log27x = 11.
Zad. 3. Zbadaj liczbę pierwiastków równania |x2–9x| = m w zależności od parametru m.
Zad. 1. Zauważmy, że an=3k+1 dla n=2k+1 (k=0, 1, 2, …) lub an=3k+2 dla n=2k+2 (k=0, 1, 2, …). W pierwszym przypadku mamy [(3n–1)/2] = [(3(2k+1)–1)/2] = [(6k+2)/2] = [3k+1] = 3k+1 = an. W drugim przypadku mamy: [(3n–1)/2] = [(3(2k+2)–1)/2] = [(6k+5)/2] = [3k+21/2] = 3k+2 = an.
Zad. 2. Dla x>0, przekształcając lewą stronę, otrzymujemy kolejno: log3x+log9x+log27x = log3x+log3^2x+log3^3x = log3x+1/2log3x+1/3log3x = 11, skąd otrzymujemy równanie 11/6log3x = 11, czyli log3x=6, skąd x=36=729.
Zad. 3. Rysujemy wykresy prawej i lewej strony podanego równania (czyli y=|x2–9x| i y=m). Analizując je, stwierdzamy, że dla:
- m<0 równanie nie ma pierwiastków,
- m=0 równanie ma 2 pierwiastki,
- 0<m<
