Zad. 1. Wiadomo, że log25=a. Oblicz log1016.
Zad. 2. Znajdź wszystkie trójkąty, których miary kątów w stopniach tworzą ciąg arytmetyczny, a długości boków w centymetrach - ciąg geometryczny. Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 3. Ołowianą kulę przetopiono na krążek, który jest walcem o promieniu podstawy równym promieniowi kuli. Czy wskutek tego pole powierzchni bryły wzrosło czy zmalało? O ile procent?
W lutym punkty zdobyli:
- 3 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Jagoda Janiś LO Góra, Lena Miłosz LO Dobrzeń Wielki, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Paweł Prasal III LO Leszno, Jadwiga Turowska LO Toruń, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2,5 – Marcin Gmurek XLIX LO Warszawa;
- 2 –Gabriela Pułecka V LO Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu
Zad. 1. Korzystając z własności logarytmów, otrzymujemy log1016 = log1024 = 4·log102 = 4·(1/log210) = 4/(log22·5) = 4/(log22+log25) = 4/(1+a).
Zad. 2. Niech α≤β≤γ będą miarami kątów trójkąta tworzącymi ciąg arytmetyczny, a a≤b≤c niech będą długościami boków tego trójkąta tworzącymi ciąg geometryczny. Wtedy β = (α+γ)/2 = (180°–β)/2, skąd β=60°. Ponadto b2=ac. Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy b2 = a2+c2–2accosβ, czyli ac=a2+c2–2accos60°. Stąd po przekształceniach otrzymujemy (a–c)2=0, czyli a=c. A stąd i z równości b2=ac otrzymujemy a=b=c. Ponadto α=β=γ=60°. Miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 0, a długości boków tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1. Zatem jedyne trójkąty spełniające warunki zadania to trójkąty równoboczne.
Zad. 3. Oznaczmy przez R promień kuli, a przez h wysokość walca. Wówczas objętość kuli wynosi Vk = 4/3πR3, a objętość walca wynosi Vw = πR2h. Zachodzi Vw = Vk, czyli 4/3πR3 = πR2h, a stąd h=4/3R. Pole powierzchni kuli wynosi Pk = 4πR2, a pole powierzchni walca Pw = 2πR2+2πR.4/3R = 14/3πR2. Pole powierzchni wzrosło o 2/3πR2, czyli o 162/3%.
