Zad. 1. Ile co najmniej kół o promieniu 0,5 potrzeba, aby całkowicie zakryć koło o promieniu 1?
Zad. 2. Gwiazdka na rysunku poniżej jest dwunastokątem wklęsłym równobocznym (o bokach długości 6 cm). Kąty wewnętrzne przy wierzchołkach A, B, C, D, E i F mają po 30o, a przy wierzchołkach G, H, I, J, K, L po 270o. Oblicz pole tej gwiazdki.
Zad. 3. Wykaż, że wyrażenie x4–4x przyjmuje najmniejszą wartość dla x=1.
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Marcin Gmurek XLIX LO Warszawa, Piotr Kulczyk II LO Mielec, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Jadwiga Turowska LO Toruń, Michał Wożniak LO Oleśnica;
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu
Zad. 1. Każde małe koło może przykryć łuk stanowiący co najwyżej 1/6 brzegu dużego koła (cięciwa łuku jest wtedy średnicą małego koła). Potrzeba siedmiu kół o promieniu 0,5.
Zad. 2. Gwiazdkę można umieścić w sześciokącie foremnym, jak na rysunku poniżej. Ponieważ odcinki GA i GB są prostopadłe (podobnie jak HB i HC, IC i ID itd), bok sześciokąta ma długość 6√2, a jego pole PABCDEF wynosi 108√3. Z sześciokąta ABCDEF należy wyciąć sześć trójkątów przystających do ABG, mających łączne pole 6·0,5·6·6 = 108 cm2. Pole gwiazdki jest równe 108√3–108 = 108(√3–1) cm2.
Zad. 3. Podstawmy x = 1+m. Wówczas (1+m)4–4(1+m) = 1+4m+6m2+4m3+m4–4–4m = m2(m2+4m+6)–3 = m2[(m+2)2+2]–3. Wyrażenie (m+2)2+2 jest dodatnie dla każdego rzeczywistego m, więc cały iloczyn jest nieujemny i równy jest zero tylko dla m=0. Wyrażenie m2[(m+2)2+2]–3 osiąga najmniejszą wartość dla m=0, czyli wyrażenie x4–4x przyjmuje najmniejszą wartość dla x = 1+0 = 1.
