Zad. 1. Oblicz sumę wyrażeń (k2+k+1)k!, gdzie k zmienia się od 1 do n.
Zad. 2. Niech a, b, c będą liczbami całkowitymi takimi, że a3+b3+c3 jest podzielne przez 18. Udowodnij, że abc jest podzielne przez 6.
Zad. 3. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, w którym |AB| > |AC|. Niech H oznacza ortocentrum tego trójkąta, punkt E niech leży symetrycznie do C względem wysokości opuszczonej z A, a F jest przecięciem prostych EH i AC. Udowodnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie AEF leży na boku AB.
Zad. 1. Zauważmy, że k2+k+1 = (k+1)2–k. Po wymnożeniu różnicy przez k! otrzymujemy pod znakiem sumy wyrażenie (k+1)2k!–kk! = (k+1)(k+1)!–kk!. Zauważmy, że suma się "teleskopuje", to znaczy że kolejne wyrazy częściowo się skracają. Łatwo to zaobserwować rozpisując jawnie to dodawanie. Wobec tego suma upraszcza się ostatecznie do (n+1)(n+1)!–1.
Zad. 2. Udowodnimy, że abc jest podzielne przez 2 i 3. Załóżmy nie wprost, że abc nie jest podzielne przez 2 lub nie jest podzielne przez 3. Rozważmy najpierw przypadek, gdy abc jest nieparzyste. Wówczas a, b, c każde z osobna muszą być nieparzyste. Co za tym idzie suma ich sześcianów również musi być nieparzysta. Mamy sprzeczność. Wiemy zatem, że abc jest parzyste. Rozważmy więc przypadek, gdy abc nie dzieli się przez 3. Wówczas żadna z liczb a, b, c nie może być podzielna przez 3. Rozważmy te liczby modulo 9. Ponieważ a, b, c nie są podzielne przez 3, to muszą dawać reszty 1, 2, 4, 5, 7 lub 8 przy dzieleniu przez 9. Sześciany liczb, które dają takie reszty z dzielenia przez 9, dają odpowiednio reszty 1, -1, 1, -1, 1, -1, a więc suma sześcianów liczb a, b, c musi dawać resztę -3, -1, 1 lub 3 przy dzieleniu przez 9. Skoro nie dzieli się przez 9, to tym bardziej nie może dzielić się przez 18. Mamy sprzeczność. Zatem teza zadania jest prawdziwa.
Zad. 3. Niech α będzie miarą kąta między AF a styczną t w punkcie A do okręgu opisanego na trójkącie AEF. Z twierdzenia o kącie wpisanym wiadomo, że kąt FEA ma miarę α. Rozważając symetrię otrzymujemy, że również kąt ACH ma miarę α. Skoro tak, to t jest równoległa do CH, więc jest prostopadła do AB. Oznacza to, że środek okręgu opisanego na AEF leży na AB.
