Zad. 1. Z grubego pnia czarodziejskiej wierzby wyrasta pewna liczba konarów. Z każdego konaru wyrasta tyle gałęzi, ile jest konarów. Na każdej gałęzi rośnie dwa razy więcej magicznych gruszek niż jest gałęzi na drzewie. Magicznych gruszek jest 1250. Ile konarów wyrasta z pnia czarodziejskiej wierzby?
Zad. 2. Pan Sebastian – artysta plastyk - przygotowuje wystawę swoich dzieł. Jednym z elementów aranżacji mają być sześciany zbudowane z kostek do gry o krawędzi 1 cm. Kupił tyle kostek, ile potrzeba do zbudowania sześcianu o krawędzi 12 cm. Wykorzystując trzecią część kupionych kostek, zbudował dwa sześciany, a ze wszystkich pozostałych jeszcze trzy. Jaką długość ma krawędź każdego ze zbudowanych sześcianów, jeśli są one różnej wielkości?
Zad. 3. Prostopadłościan ABCDEFG przedstawiony na rysunku ma wymiary 25 cm × 27 cm × 29 cm. Czy obwód trójkąta ACH jest większy niż 80 cm? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 1. Oznaczmy liczbę konarów przez k. Wówczas liczba wszystkich gałęzi jest równa k·k=k2. Liczba gruszek na jednej gałęzi jest równa 2k2. Na wszystkich gałęziach jest k2·2k2=2k4 gruszek. Otrzymujemy równanie 2k4 = 1250, skąd k=5. Na magicznej wierzbie jest zatem 5 konarów.
Zad. 2. Pan Sebastian kupił 123=1728 kostek, a 1/3.1728=576. Krawędzie sześcianu są krótsze niż 9, bo 93 = 729. Analizując kolejne możliwości, otrzymujemy 43+83 = 576. Pozostały jeszcze 1728–576 = 1152 kostki. Po wykonaniu kilku prób otrzymujemy 33+53+103 = 1152. Sześciany miały krawędzie 3 cm, 4 cm, 5 cm, 8 cm i 10 cm.
Zad. 3. Przyjmijmy, że |DA|=25 cm, |DC|=27 cm, |DH|=29 cm. Trójkąt ACD jest prostokątny, bok AC jest przeciwprostokątną, więc jest dłuższy od każdej z przyprostokątnych, czyli |AC|>|DC|=27. Podobnie otrzymujemy kolejne zależności: |AH|>|DH|=29 i |CH|>|DH|=29. Obwód trójkąta ACH jest więc większy od 27+29+29=85, czyli jest też większy niż 80 cm.
